TEOREMA-TEOREMA PADA SIFAT ALJABAR ANALISA REAL
Teorema 1
Jika z∈ R ⋀ a∈ R lainnya yang bersifat z + a = a maka z = 0
Bukti 1 :
z + a = a, ∀a,z ∈ R ⇾ z = 0
Akan dibuktikan
Misal :
a,z ∈ R
z + a = a
Karena a∈R maka ∃(-a)∈ R ∋ a + (-a) = (-a) + a = 0
z + a + (-a) = a + (-a)
a + (z + (-a)) = a + (-a) (Sifat asosiatif operaasi penjumlahan)
z + 0 = 0 (Sifat eksistensi elemen negatif)
z = 0 (Sifat kewujudan elemen nol)
∴ Jadi terbukti jika z ∈ R ⋀ a ∈ R lainnya yang bersifat z + a = a maka z = 0
Bukti 2 :
Akan dibuktikan z + a = a, ∀a,z ∈ R ⇾ z = 0
Misal :
a,z ∈ R
z + a = a
Berdasarkan sifat kewujudan elemen nol ∀z ∈ R
z = z + 0
Berdasarkan sifat eksistensi elemen negatif
∃(-a)∈ R ∋ a + (-a) = (-a) + a = 0
Sehingga
z = z + (a + (-a))
z = (z + a) + a)
z = a = (-a)
z = 0
∴ Jadi terbukti jika z ∈ R ⋀ a ∈ R lainnya yang bersifat z + a = a maka z = 0
Teorema 2
Jika u ∈ R ⋀ b ≠ 0 ∈ R yang bersifat u,b = b, maka berlaku u = 1
Bukti :
u,b = b,∀u,b ∈ R ⇾ b ≠ 0
Misal :
u,b ∈ R
u + b = b
Karena b∈ R ⋀ b ≠ 0
Maka
∀a ∈ R, a ≠ 0,∃1a ∈ R ∋ 1a.a=a.1a=1
u * b = b
u * b.1b=b.1b (eksistensi elemen invers)
u * 1 = 1 (aksioma kesatuan)
u = 1 (sifat kewujudan elemen satuan)
∴ Jadi terbukti jika u ∈ R ⋀ b ≠ 0 ∈ R yang bersifat u,b = b, maka berlaku u = 1
Teorema 3
Jika a suatu elemen pada bilangan real, maka berlaku a.0 = 0
Bukti :
a.0 = 0 ⇾ ∈ R
Karena a + a.0 = a.1 + a.0 = a.(1+0) = a.1 = a maka a.0 = 0
Teorema 4
Jika a + b = 0, maka b = -a
Bukti:
Bukti:
Karena a + b = 0
a + b = 0 ↔ (-a) + (a + b) = (-a) + 0
↔ ((-a) + a) + b = -a (sifat asosiatif penjumlahan dan eksistensi elemen nol)
↔ 0 + b = -a (invers penjumlahan)
↔ b = -a (eksistensi elemen nol)
Teorema 5
Jika a ≠ 0 dan b ∈ R sedemikian hingga a . b = 1, maka b=1a
Bukti:
Karena a . b = 1, maka
a . b = 1 ↔ (1a)(a.b)=1a.1
↔ (1a.a)(b)=1a
↔ 1.b=1a
↔ b=1a
Teorema 6
Jika a . b = 0, maka a = 0 atau b = 0
Bukti:
Diketahui a . b = 0, maka
a . b = 0 ↔ (1a)(a.b)=1a.0
↔ (1a.a)(b)=0
↔ 1.b=0
↔ b=0
a . b = 0 ↔ (1b)(a.b)=1b.0
↔ (1b.b)(a)=0
↔ 1.a=0
↔ a=0
Tidak ada komentar:
Posting Komentar